تحقیق همه چیز درباره ب م م

بزرگترین مقسوم علیه مشترک میان دو عدد طبیعی و بصورت یا یا نوشته می‌شود.

مثال: و

هرگاه ب.م.م دو عدد برابر ۱ باشد، آن دو عدد را نسبت به‌هم اول می‌گوئیم(هم اول).

مثال: دو عدد ۱۴ و ۵ نسبت به هم اول هستند، زیرا، داریم

ب.م.م برای ساده تر کردن کسرها نیز مفید است. برای مثال:

محاسبه ب.م.م

روش تجزیه به عوامل اول

اصولاً می‌توان ب.م.م دو عدد را با تجزیه عددها به فاکتورهای اولشان پیدا کرد. برای مثال:

۲٫۳^۲=۱۸ و ۳٫۷.۲^۲=۸۴

مشاهده می کنید که فاکتورهای مشترک این دو عدد ۲ و ۳ هستند پس: gcd(۸۴٬۱۸) = ۲٫۳ = ۶

محاسبه ب.م.م به این روش فقط برای اعداد کوچک عملی است و برای اعداد بزرگتر زمان بسیاری نیاز دارد.

روش اقلیدسی (تقسیم متوالی)

یکی از بهترین روش‌ها برای محاسبهٔ ب.م.م الگوریتم اقلیدس است که از الگوریتم تقسیم استفاده می‌کند.

مثال: یافتن (۸۴٬۱۸)gcd

ابتدا ۸۴ را به ۱۸ تقسیم می کنیم؛ خارج قسمت تقسیم ۴ و باقی‌مانده ۱۲ بدست می‌آید.

سپس ۱۸ را بر ۱۲ تقسیم می کنیم؛ خارج قسمت ۱ و باقی‌مانده ۶ بدست می‌آید؛ مجدداً ۱۲ را بر ۶ تقسیم می‌کنیم؛ خارج قسمت ۲ و باقی‌مانده ۰ می‌شود. پس عدد ۶ ب.م.م دو عدد ۸۴ و ۱۸ است.

در روش اقلیدسی اصطلاحاً خارج قسمت را بطور متوالی می شکنیم تا به باقی‌مانده ۰ برسیم.

خاصیت‌های ب.م.م

• هر مقسوم علیه دو عدد a و b، مقسوم علیه (gcd(a،b نیز هست.
• ب.م.م دو عدد a و ۰ برابر |a| است. |gcd(a،۰)=|a.
• اگر a مقسوم علیه b.c باشد و داشته باشیم gcd(a، b) = d آنگاه a/d مقسوم علیه c است.
• اگر m یک عدد نامنفی باشد آنگاه داریم: (gcd(m·a، m·b) = m·gcd(a، b.
• اگر m یک عدد صحیح باشد آنگاه داریم: (gcd(a + m·b، b) = gcd(a، b.
• اگر m مقسوم علیه مشترک غیر صفر a و b باشد آنگاه داریم: gcd(a/m، b/m) = gcd(a، b)/m
• ب.م.م دارای خاصیت جابجایی است؛ (gcd(a، b) = gcd(b، a
• ب.م.م دارای خاصیت شرکت‌پذیری است؛ (gcd(a، gcd(b، c)) = gcd(gcd(a، b)، c
• ب.م.م دو عدد a و b وقتی که هیچ کدام ۰ نباشند، تعریف می‌شود: کوچکترین عدد مثبت d بشکلی که بتوان به فرم d = a·p + b·q نوشت که در آن p و q اعداد صحیح هستند.